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    單擺/周期公式
    作者:fanlei  來源:本站  發表時間:2017-12-14 11:35:39  點擊:1092

    以下為各位大神做的公式推導,云儀小編將這個分享出來供大家參考
    如果其他大神有不同意見或者是其他更好的方式,歡迎交流與學習
    我們西安云儀也愿意給各位一個交流的平臺
    讓大家可以更好的掌握此項試驗

    大神一:
    單擺的周期公式是 T=2π√(L/g) ,只與擺長和當地的重力加速度有關,與擺長的平方根成正比,與當地重力加速度的平方根成反比.
    這個公式T=2π√(L/g)是根據彈簧振子的周期公式T=2π√(m/k)
    推導出來的,因為單擺做簡諧運動時的比例系數(F=-kx中的k)k=mg/L代入T=2π√(m/k)即得T=2π√(L/g).
    證明:
    擺球的擺動軌跡是一個圓弧.設擺角(擺球偏離豎直方向的角度)為θ,則擺球的重力mg沿此圓弧的切線方向的分力為mgsinθ.設擺球偏離平衡位置的位移為x、擺長為l,則當擺角很小時,可以認為sinθ=x/l.所以,單擺的回復力為F=-mgx/l.
    對于系統而言,m、g、l均為定值,故可認為k=mg/l,則F=-kx.
    因此在單擺很小的情況下,單擺做簡諧運動.
    將k=mg/l代入ω=√(k/m)可得ω=√(g/l).由T=2π/ω可得單擺周期公式
    T=2π√(l/g).

    彈簧振子
    F=-kx
    a=d²x/dt²
    =-(k/m)x=-ω²x ω=√(k/m)
    d²x/dt²+ω²x=0
    解微分方程
    得:x=Acos(ωt+φ)
    ω=2π/T
    T=2π/ω=2π√(m/k)
    單擺:
    F切=ma=-mgsinθ a=ld²θ/dt²
    ma=mld²θ/dt²=-mgsinθ
    d²θ/dt²+(g/l)sinθ=0
    θ<5° sinθ≈θ
    d²θ/dt²+(g/l)θ=0 令ω²=g/l
    d²θ/dt²+ω²θ=0
    解微分方程:θ=θ0cos(wt+φ)
    得:T=2π/ω=2π√(l/g)
    設夾角a 線長l 拉力T 角速度w
    T-mgCOSa=w^2*l (1)
    mgSINa=-mdv/dt (2)
    v=da/dt*l(3)
    有2 3 式得
    gSINa/l=-d^2a/dt^2
    a很小時sin(a)=a
    g*a/l+d^2a/dt^2=0 這是最簡單的常微分方程式
    特征根是 A=(g/l) i w^2=g/l 所以解a=a0cos(wt+b)
    周期T=2TT/w=2TT*(l/g)^1/2
    嚴密的:gsin(a)/l=-d^2a/dt^2 開始不做近似
    兩邊乘以da/dt 再積分(和證明能量守恒一樣)
    (da/dt)^2=2g/l *COSa+C 當a=0時如果da/dt=w0 那么C=w0^2-2g/l (da/dt)^2=4g/l *(lw0^2/4g-SIN^2a/2)>=0
    設lw0^2/4g=k^2 帶入 dt=+-1/2*(l/g)^1/2*da/(k^2-SIN^2a/2)^1/2
    設SINa/2=ku 在帶入 dt=+-(l/g)^1/2*du/((1-u^2)(1-k^2u^2))^1/2
    然后利用橢圓積分 得到

    大神二
    第一向心力:設質點沿半徑為r的圓周做勻速圓周運動,在某時刻速度為v1 很短的△t時間后為v2速度矢量改變△v=v2-v1 比值Δv/Δt就是質點的平均加速度,方向與Δv相同。當Δt足夠小時比值就是瞬時加速度,A B兩點就重合為一點,Δv即a的方向就是切線方向 .
    用Δs 表示AB長則Δv=v1*Δs/r 用Δv去除 則Δv/Δt=Δs*v/Δt*r 當Δt趨近于0時 Δv/Δt表示a的大小 Δs/Δt表示線速度的大小v1于是 a=v2/r再由F=ma得到F=mv2/r 用極限的思想
    第二萬有引力公式是實驗推倒的,沒有推導過程
    第三單擺周期公式要積分的,電腦上我不會打
    那個牛頓合力公式這種說法沒說過,F=ma是牛頓第二定律 f=df/dt=d(mv)/dt是他的數學形式一般低速宏觀用F=ma,你要是學過微分的話我可以把他的推到補上
    f=ma的推導:
    當物體看作質點,宏觀低速質量看作不隨時間變換即沒有函數關系,m對t求導為零,
    則f=d(mv)/dt=dm/dt*v+dv/dt*m
    在上述前提下dm/dt=0 所以推出f=0+dv/dt*m 即f=ma
    歡迎各位同學和老師來補充:

    這里我只做一個對比來說明單擺是簡諧振動,具體推到你可以去解微分方程,其實也很簡單就能算出它的表達式。
    首先我們知道彈簧振子的振動是簡諧振動(要是這個不知道那就沒辦法了),彈簧的胡克定律是
                  F=k‘x
    也就是ma=k’x,則有   a=k‘/m*x=kx
    即     x’‘=kx    (或者寫成微分形式:d^2x/dt^2=kx)................(*)
    只要表達式符合這樣的相似條件,那么就是簡諧振動。
    現在我們假設擺動角度為θ,角速度為ω,角加速度為ɑ,
    則有θ’=ω,ω‘=ɑ。
    根據單擺的受力可知:mgsinθ=mθ’‘,即  gsinθ=θ’'    ................(#)
    根據單擺的要求知道,擺角要小于5°,也就是說θ趨近于0,我們知道當θ→0時,sinθ→θ,也就是可以用θ來代替sinθ
    即      sinθ=θ
    所以(#)式可以轉化為
                     gθ=θ''  即   θ''=g θ  (或者是d^2θ/dt^2=gθ)
    這顯然與(*)式的表達式是一致的,所以單擺是簡諧振動
    k1 T=TT/k*(l/g)^1/2*無窮級數((2n-1)!/(2n)!(1/k)^n)^2
    TT是派
    此文僅供參考,不代表云儀的解答方式

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